矩陣的LU分解是一種常用的矩陣分解方法，它可以將一個矩陣分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。這種分解方法在數值計算、線性代數、微積分等領域都有廣泛的應用。下面我們來看一下矩陣如何進行LU分解。

首先，我們需要了解一下什么是下三角矩陣和上三角矩陣。下三角矩陣是指矩陣的主對角線以下的元素都為0的矩陣，而上三角矩陣則是指矩陣的主對角線以上的元素都為0的矩陣。下面是一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的例子：

$$

L = \\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\\\

2 & 1 & 0 \\\\

3 & 4 & 1

\\end{bmatrix},\\quad

U = \\begin{bmatrix}

1 & 2 & 3 \\\\

0 & 1 & 4 \\\\

0 & 0 & 1

\\end{bmatrix}

$$

接下來，我們來看一下矩陣如何進行LU分解。假設我們有一個矩陣$A$，我們要將它分解為一個下三角矩陣$L$和一個上三角矩陣$U$的乘積，即$A=LU$。下面是LU分解的步驟：

1. 首先，我們將矩陣$A$的第一行作為下三角矩陣$L$的第一行，即$L_{1,:}=A_{1,:}$。然后，我們將矩陣$A$的第一列除以$L_{11}$得到一個列向量$u$，即$u=A_{:,1}/L_{11}$。最后，我們將$u$的第一行作為上三角矩陣$U$的第一行，即$U_{1,:}=u$。

2. 接下來，我們對于矩陣$A$的第二行及其以下的行，進行以下操作：

a. 將矩陣$A$的第$i$行的前$i-1$個元素除以$L_{ii}$，得到一個行向量$v$，即$v=A_{i,:}/L_{ii}$。

b. 將$v$的前$i-1$個元素設為0，得到一個列向量$u$，即$u=[0,\\dots,0,v_{i},\\dots,v_{n}]^T$。

c. 將$u$的第$i$行作為下三角矩陣$L$的第$i$行，即$L_{i,:}=u$。

d. 將$v$的第$i$個元素及其后面的元素作為上三角矩陣$U$的第$i$行，即$U_{i,i:}=v_{i:}$。

3. 最后，我們得到了下三角矩陣$L$和上三角矩陣$U$，它們的乘積等于原矩陣$A$，即$A=LU$。

下面是一個矩陣進行LU分解的例子：

$$

A = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

4 & 3 & 3 \\\\

8 & 7 & 9

\\end{bmatrix}

$$

首先，我們將矩陣$A$的第一行作為下三角矩陣$L$的第一行，即$L_{1,:}=A_{1,:}$：

$$

L = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 0 \\\\

0 & 0 & 0

\\end{bmatrix}

$$

然后，我們將矩陣$A$的第一列除以$L_{11}$得到一個列向量$u$，即$u=A_{:,1}/L_{11}$：

$$

u = \\begin{bmatrix}

1 \\\\

2 \\\\

4

\\end{bmatrix}

$$

最后，我們將$u$的第一行作為上三角矩陣$U$的第一行，即$U_{1,:}=u$：

$$

U = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 3

\\end{bmatrix}

$$

接下來，我們對于矩陣$A$的第二行及其以下的行，進行以下操作：

對于第二行，我們將矩陣$A$的第二行的前一個元素除以$L_{22}$，得到一個行向量$v$：

$$

v = \\begin{bmatrix}

0 \\\\

1 \\\\

3/2

\\end{bmatrix}

$$

然后，我們將$v$的前一個元素設為0，得到一個列向量$u$：

$$

u = \\begin{bmatrix}

0 \\\\

0 \\\\

1

\\end{bmatrix}

$$

將$u$的第二行作為下三角矩陣$L$的第二行，即$L_{2,:}=u$：

$$

L = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 0 \\\\

0 & 0 & 1

\\end{bmatrix}

$$

將$v$的第二個元素及其后面的元素作為上三角矩陣$U$的第二行，即$U_{2,2:}=v_{2:}$：

$$

U = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 3/2

\\end{bmatrix}

$$

對于第三行，我們將矩陣$A$的第三行的前兩個元素除以$L_{33}$，得到一個行向量$v$：

$$

v = \\begin{bmatrix}

0 \\\\

0 \\\\

1

\\end{bmatrix}

$$

然后，我們將$v$的前兩個元素設為0，得到一個列向量$u$：

$$

u = \\begin{bmatrix}

0 \\\\

0 \\\\

0

\\end{bmatrix}

$$

將$u$的第三行作為下三角矩陣$L$的第三行，即$L_{3,:}=u$：

$$

L = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 0 \\\\

0 & 0 & 0

\\end{bmatrix}

$$

將$v$的第三個元素及其后面的元素作為上三角矩陣$U$的第三行，即$U_{3,3:}=v_{3:}$：

$$

U = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 1

\\end{bmatrix}

$$

最后，我們得到了下三角矩陣$L$和上三角矩陣$U$，它們的乘積等于原矩陣$A$，即$A=LU$：

$$

L = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 0 \\\\

0 & 0 & 0

\\end{bmatrix},\\quad

U = \\begin{bmatrix}

2 & 1 & 1 \\\\

0 & 1 & 1 \\\\

0 & 0 & 1

\\end{bmatrix}

$$

總結一下，矩陣的LU分解是一種常用的矩陣分解方法，它可以將一個矩陣分解為一個下三角矩陣和一個上三角矩陣的乘積。LU分解的步驟包括將矩陣的第一行作為下三角矩陣的第一行，將矩陣的第一列除以下三角矩陣的第一個元素得到一個列向量作為上三角矩陣的第一行，然后對于矩陣的第二行及其以下的行，將矩陣的前$i-1$行的第$i$個元素除以下三角矩陣的第$i$個元素得到一個行向量，將行向量的前$i-1$個元素設為0得到一個列向量作為下三角矩陣的第$i$行，將行向量的第$i$個元素及其后面的元素作為上三角矩陣的第$i$行，最后得到的下三角矩陣和上三角矩陣的乘積等于原矩陣。

來源：閆寶龍（微信/QQ號:18097696），網站內容轉載請保留出處和鏈接！

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